设总体X ~Np（μ,Σ），随机样本X(a)（α=1,…,n）。检验H0: μ=μ0（μ0为已知向量），H1: μ≠μ0 [大谦MATLAB，dqmatlab点com]
1．当Σ=Σ0已知时均值向量的检验
统计量为
\[{T}_{0}^{2}=n(X-{\mu}_{0}){\Sigma}_{0}^{-1}(X-{\mu}_{0})\~{\chi}^{2}(p)\]
2．当Σ未知时均值向量的检验
统计量为
\[{T}^{2}=(n-1)n(\overline{X}-{\mu}_{0}){A}^{-1}(\overline{X}-{\mu}_{0})\~{T}^{2}(p,n-1)\]
利用T2与F分布的关系，检验统计量取为
\[F=\frac{(n-1)-p+1}{(n-1)p}{T}^{2}\~F(p,(n-1)-p+1)\~F(p,n-p)\]
人的出汗量与人体内钠和钾的含量有一定的关系，下面测量了20名健康成年女性的出汗量（X1）、钠的含量（X2）和钾的含量（X3）（数据见表3-1）。试检验H0:μ=μ0=(4, 50, 10)'，H1: μ≠μ0（α=0.05）。
表3-1 成年女性的出汗量及其体内钠和钾含量的数据
| 序 号 | X1 | X2 | X3 | 序号 | X1 | X2 | X3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.7 | 48.5 | 9.3 | 2 | 4.7 | 65.1 | 8.0 |
| 3 | 3.8 | 47.2 | 10.9 | 4 | 3.2 | 53.2 | 12.0 |
| 5 | 3.1 | 55.5 | 9.7 | 6 | 4.6 | 36.1 | 7.9 |
| 7 | 2.4 | 24.8 | 14.0 | 8 | 7.2 | 33.1 | 7.6 |
| 9 | 6.7 | 47.4 | 8.5 | 10 | 5.4 | 54.1 | 11.3 |
| 11 | 3.9 | 36.9 | 12.7 | 12 | 4.5 | 58.8 | 12.3 |
| 13 | 3.5 | 27.8 | 9.8 | 14 | 4.5 | 40.2 | 8.4 |
| 15 | 1.5 | 13.5 | 10.1 | 16 | 8.5 | 56.4 | 7.1 |
| 17 | 4.5 | 71.6 | 8.2 | 18 | 6.5 | 52.8 | 10.9 |
| 19 | 4.1 | 44.1 | 11.2 | 20 | 5.5 | 40.9 | 9.4 |
解 在命令窗口中输入
code.matlab
>> x=[3.7 48.5 9.3;5.7 65.1 8;3.8 47.2 10.9;3.2 53.2 12;3.1 55.5 9.7; 4.6 36.1 7.9;2.4 24.8 14;7.2 33.1 7.6;6.7 47.4 8.5;5.4 54.1 11.3;3.9 36.9 12.7;4.5 58.8 12.3;3.5 27.8 9.8;4.5 40.2 8.4;1.5 13.5 10.1;8.5 56.4 7.1;4.5 71.6 8.2;6.5 52.8 10.9;4.1 44.1 11.2;5.5 40.9 9.4];
>> u0=[4 50 10]';
>> n=20;
>> A=cov(x)*(n-1);
>> T2= (n-1) * n *(mean(x)'-u0)'*inv(A)*(mean(x)'-u0),
>> p=3;
>> f=(n-p) /((n-1)*p) *T2,
>> p=1-fcdf(f,p,n-p),
T2 =
9.7388
f =
2.9045
p =
0.0649在显著性水平0.05下，接受原假设。
均值向量μ的置信度为1α的置信域为
\[{T}^{2}=n(\overline{X}-\mu)'{S}^{-1}(\overline{X}-\mu)\leq\frac{(n-1)p}{n-p}{F}_{\alpha}\]
该置信域是一个中心在\(\overline{X}\)的椭球体。
沿用例的数据，试求μ的置信度为95%的置信椭球体。
解：在命令窗口中输入
code.matlab
>> x=[3.7 48.5 9.3;5.7 65.1 8;3.8 47.2 10.9;3.2 53.2 12;3.1 55.5 9.7; 4.6 36.1 7.9;2.4 24.8 14;7.2 33.1 7.6;6.7 47.4 8.5;5.4 54.1 11.3;3.9 36.9 12.7;4.5 58.8 12.3;3.5 27.8 9.8;4.5 40.2 8.4;1.5 13.5 10.1;8.5 56.4 7.1;4.5 71.6 8.2;6.5 52.8 10.9;4.1 44.1 11.2;5.5 40.9 9.4];
>> S=cov(x)
>> [v,lamda]=eig(S)
>> n=20;
>> p=3;
>> c2=(n-1)*p/(n*(n-p)) *3.2 % cc=(n-1)p/n/(n-p)*F0.05
>> dr=sqrt(lamda)*sqrt(c2)
S =
2.8794 10.0100 -1.8091
10.0100 199.7884 -5.6400
-1.8091 -5.6400 3.6277
v =
-0.8175 0.5737 0.0508
0.0249 -0.0530 0.9983
-0.5754 -0.8173 -0.0291
lamda =
1.3014 0 0
0 4.5316 0
0 0 200.4625
c2 =
0.5365
dr =
0.8356 0 0
0 1.5592 0
0 0 10.3703所以，置信椭球体的第一长轴半径为10.3703，第二长轴半径为1.5592，短轴半径为0.8356。