全回归分析

用regress函数可以进行多元线性回归分析，利用该函数得到的是全回归分析结果。其语法格式介绍如下

b = regress(y, X)：返回X处y的最小二乘拟合值。该函数用于求解线性模型：

\[y=X\beta+\varepsilon\varepsilon\~N(0,{\sigma}^{2}I)\]

在上式中：

y为n1向量，X为np矩阵，为p1参数向量，为n1随机干扰向量。

[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, X)：在b中返回β的估计，在p2向量bint中返回的95%置信区间。r为残差，在n2向量rint中返回每一个残差的95%置信区间。stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。

[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, X, alpha)：给出bint和rint的100(1-alpha)%置信区间。例如，当alpha = 0.2时，给出80%置信区间。

某种水泥在凝固时放出的热量（单位:卡/克）Y与下面列出的水泥中的4种化学成分所占的百分比有关：

X1：3CaO·Al2O3的成分(%)；

X 2：3CaO·SiO2的成分(%)；

X 3：4CaO·Al2O3·Fe2O3的成分(%)；

X 4：2CaO·SiO2的成分(%)。

现测得13组数据，见表4-1。要求建立放出的热量与水泥化学成分之间的经验回归关系式。

表4-1 热量-水泥化学成分数据

编号 X1 X2 X3 X4 y
1 7 26 6 60 78.5
2 1 29 15 52 74.3
3 11 56 8 20 104.3
4 11 31 8 47 87.6
5 7 52 6 33 95.9
6 11 55 9 22 109.2
7 3 71 17 6 102.7
8 1 31 22 44 72.5
9 2 54 18 22 93.1
10 21 47 4 26 115.9
11 1 40 23 34 83.8
12 11 66 9 12 113.3
13 10 68 8 12 109.4

输入自变量和因变量。

code.matlab 
>> X=[ 7     26      6     60
      1     29     15     52
       11    56      8     20
       11    31      8     47
      7     52      6     33
       11    55      9     22
      3     71     17      6
      1     31     22     44
      2     54     18     22
       21    47      4     26
      1     40     23     34
       11     66      9     12
       10     68      8     12];
>> y=[78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4]';

进行一般多元回归分析。

code.matlab 
>> [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X)
b =
    2.1930
    1.1533
    0.7585
    0.4863
bint =
    1.7739    2.6122
    1.0449    1.2618
    0.3977    1.1194
    0.3926    0.5800
r =
   -0.5680
    1.9943
   -0.2042
   -1.2017
   -0.0239
    4.1180
   -1.5779
   -3.5314
    2.0821
   -0.0386
    1.4933
    0.3946
   -2.8605
rint =
   -4.7218    3.5858
   -2.6478    6.6363
   -5.6325    5.2240
   -6.1767    3.7733
   -4.7305    4.6828
   -0.2283    8.4642
   -6.0304    2.8747
   -7.1130    0.0502
   -2.8664    7.0306
   -3.3262    3.2490
   -2.9409    5.9276
   -4.8088    5.5980
   -7.3850    1.6639
stats =
    0.9860  152.6920    0.0000    5.8455

在上面的结果中，b为自变量的系数向量，故全回归的回归结果为

y=2.1930X1+1.1533X2+0.7585X3+0.4863X4

bint为各系数的置信区间。r和rint为对应个案系数的残差和残差置信区间，可见各残差值均较小。stats向量的值分别为相关系数平方值R2、F值和显著性概率p。相关系数平方值R2=0.9806，说明模型拟合程度相当高。显著性概率p=0.0000，小于0.05，故拒绝零假设，认为回归方程中至少有一个自变量的系数不为零，回归方程有意义。