二次规划应用实例

[大谦MATLAB，dqmatlab点com]

【例7】求解下面的最优化问题：

\[\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \mathrm{\mathrm{min}}{z={x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}-{2x}_{1}-4{x}_{2}-6{x}_{3}} \\ {x}_{1}+{x}_{2}\leq 2 \end{matrix} \\ {x}_{2}+{x}_{3}\leq3 \\ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{3}\leq 4 \\ {x}_{j}\geq0, j=1,\ldots,3 \end{matrix} \end{matrix} \right.\]

首先，目标函数可以写成下面的矩阵形式：

\(H=\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]\)，\(f=\left[ \begin{matrix} -2 \\ -4 \\ -6 \end{matrix} \right]\)，\(x=\left[ \begin{matrix} {x}_{1} \\ {x}_{2} \\ {x}_{3} \end{matrix} \right]\)

输入下列系数矩阵：

code.matlab 
>> H = [2 0 0;0 2 0;0 0 0];
>> f = [-2; -4; -6];
>> A = [1 1 0; 0 1 1; 1 0 1];
>> b = [2; 3; 4];
>> lb = zeros(3,1);

然后，调用二次规划函数quadprog：

code.matlab 
>> [x, fval, exitflag, output] = quadprog(H, f, A, b, [], [], lb)

得问题的解：

code.matlab 
x =
    1.0000
    0.0000
    3.0000
fval =
  -19.0000
exitflag =
     1
output =
  包含以下字段的 struct:
            message: 'Minimum found that satisfies the constraints…'
          algorithm: 'interior-point-convex'
      firstorderopt: 2.3467e-09
    constrviolation: 0
         iterations: 11
       linearsolver: 'dense'
       cgiterations: []