定积分的应用

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使用定积分可以解决几何和物理中的很多实际问题，比如求平面图形的面积、求旋转体的体积、求曲线的弧长等。[大谦MATLAB，dqmatlab点com]

求平面图形的面积

计算由两条抛物线 \({y}^{2}=x，y={x}^{2}\) 所围成的图形的面积。

解 先画出两条抛物线的图形。在命令窗口中输入下面的命令行：

code.matlab 
>> fplot(@(x)sqrt(x),[0,2])
>> hold on
>> fplot(@(x)x^2,[0,2])
>> hold off
>> axis([0 2 0 2])

函数的图形如图5-1所示。

Document Image
\[\]

图5-1 两条抛物线的图形

再用solve函数求解两条抛物线方程构成的方程组。在命令窗口中输入：

code.matlab 
>> syms x y
>> [x1,y1]=solve(y^2==x,y==x^2)
x1=
		0
		1
		(3^(1/2)*1i)/2 - 1/2
     - (3^(1/2)*1i)/2 - 1/2
	y1=
		0
		1
- (3^(1/2)*1i)/2 - 1/2
   (3^(1/2)*1i)/2 - 1/2

取实数解，方程的解分别为(0,0)和(1,1)。于是可以用下面的积分求曲线相交区域的面积。

在命令窗口输入：

code.matlab 
	>> syms x
	>> int(sqrt(x)-x^2,0,1)
	ans=
		1/3

所以，相交区域的面积为1/3。

旋转体的体积

计算由椭圆 \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\) 绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

解 旋转体是一个椭球体，该椭球体也可以被看作半个椭圆

\[y=\frac{b}{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}\]

与x轴围成的图形绕x轴旋转而成。则在 [-a, a]区间和、[x, x+dx]微小区间中薄片的体积，可看作半径为 \(\frac{b}{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}\)、高为dx的扁圆柱体的体积。即体积元素

\[dV=\frac{\pi{b}^{2}}{{a}^{2}}({a}^{2}-{x}^{2})dx\]

于是椭球体的体积为

\[V=\int_{-a}^{a} {\pi\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}({a}^{2}-{x}^{2})dx}\]

在命令窗口中输入下面的命令行：

code.matlab 
	>> syms a b x
	>> int(pi*b*b/a/a*(a*a-x*x),-a,a)
	ans=
		(4*pi*a*b^2)/3

所以，椭球体的体积为

\[V=\frac{4}{3}\pi a{b}^{2}\]

计算曲线的弧长

计算曲线 \(y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}\) 上x从a到b的一段弧的长度。

解 弧长公式可以写成

\[s=\int_{a}^{b} {\sqrt{1+y{'}^{2}}dx}\]

先求y的导数，在命令窗口中输入：

code.matlab 
>> syms x;
>> f= 2/3*x^(3/2);
>> d=diff(f)
d=
	x^(1/2)

于是可以求积分

code.matlab 
>> syms x;
>> int(sqrt(1+x),a,b)
ans=
	      (2*(b + 1)^(3/2))/3 - (2*(a + 1)^(3/2))/3