求多元函数的极限

求 \({\mathrm{lim}}_{y\to0}\frac{\operatorname{sin}{(}x+y)-\operatorname{sin}{(}x)}{y}\)。

解 在命令窗口中输入

>> syms x y;
>> limit((sin(x+y)-sin(x))/y,y,0)
ans =
cos(x)

求 \({\mathrm{lim}}_{\begin{aligned} \&x\to0 \\ \&y\to0 \end{aligned}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\)。

解 在命令窗口中输入

>> syms x y;
>> limit(limit((sqrt(x*y+1)-1)/(x*y),x,0),y,0)
ans =
	1/2

求极限 \({\mathrm{lim}}_{\begin{aligned} \&x\to0 \\ \&y\to a \end{aligned}}\frac{1-xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}\)。

解 在命令窗口中输入

>> syms x y a;
>> limit(limit((1-x*y)/(x*x+y*y),x,0),y,a)
ans =
	1/a^2

求 \({\mathrm{lim}}_{\begin{matrix} x\to\infty \\ y\to\infty \end{matrix}}\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}\)。

解 在命令窗口中输入

>> syms x y;
>> limit(limit(1/(x*x+y*y),x,inf),y,inf)
ans =
	0