分布函数

MATLAB提供的函数

MATLAB提供了专门的函数用于求解各种随机变量的分布函数，如表1-3所示。

表1-3 常见分布的累加函数

设随机变量X的分布律如表1-4所示。

表1-4 X的分布律

下面求X的分布函数并画出其图形。

解 分布函数F(x)的值等于X\(\leq\)x的累积概率值，即为小于或等于x的那些xk处的概率Pk之和。编写M文件sam3_6.m进行计算。

function sam3_6
p=[1/4 1/2 1/4];
s=0;
ps(1)=0;
for k=2:4
  ps(k)=s+p(k-1);
  s=ps(k);
end
ps
x1=[-2 -1];
y1=[ps(1) ps(1)];
plot(x1,y1)
hold on
x2=[-1 2];
y2=[ps(2) ps(2)];
plot(x2,y2)
x3=[2 3];
y3=[ps(3) ps(3)];
x4=[3 4];
y4=[ps(4) ps(4)];
plot(x4,y4)
hold off

保存该文件后，在命令窗口中输入下面的语句：

>> sam3_6
ps=
0	0.2500	0.7500	1.0000

所以，X的分布函数为

函数的图形如图1-2所示。

图1-2 X的分布函数的图形

设随机变量X的概率密度为

求X的分布函数F(x)，并画出图形。

解 当\(1\leq x\leq2\)时，X的分布函数为

编写M文件sam3_7.m如下

function sam3_7
syms x;
int(2-2/x/x)

保存该文件以后，在命令窗口中输入下面的语句

>> sam3_7
ans=
(2(x^2 + 1))/x

所以，当\(1\leq x\leq2\)时，F(x)= (2(x^2 + 1))/x-(21+2/1)=2x+2/x-4=2(x+1/x-2)

X的分布函数为

下面编写M文件sam3_7_2.m并绘制F(x)的图形。

function sam3_7_2
x1=[0 1];
y1=[0 0];
plot(x1,y1)
hold on
[x y]=fplot(@(x)2.*x+2./x-4,[1 2]);
plot(x,y)
x2=[2 3];
y2=[1 1];
plot(x2,y2)
hold off

保存该文件以后，在命令窗口中输入下面的语句：

>> sam3_7_2

生成如图1-3所示的图形。

图1-3 分布函数的图形

设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900Ω~1100Ω范围内。求R的概率密度及R落在950Ω~1050Ω范围内的概率。

解 根据题意，R的概率密度为

故有，\(P\{950\lt R\leq1050\}=\int_{950}^{1050} {\frac{1}{200}dr}\)。

编写M文件sam3_8.m，求该积分

function sam3_8
syms x;
p=int(0.005,x,950,1050)

保存该文件后，在命令窗口中输入下面的语句：

>> sam3_8
p=
1/2

R落在950Ω~1050Ω范围内的概率等于R位于1050时的分布函数值减去R位于950时的分布函数值。编写如下M文件sam3_8_2.m。

function sam3_8_2
p1=unifcdf(950,900,1100)
p2=unifcdf(1050,900,1100)
p=p2-p1

保存该文件后，在命令窗口中输入下面的语句：

>> sam3_8_2
p1=
0.2500
p2=
0.7500
p=
0.5000

所以，R落在950Ω~1050Ω范围内的概率为0.5。

指数分布

用exppdf函数可以进行指数分布计算。其语法格式为

Y=exppdf(X, MU)

其中，MU为参数，X为指定的位置。

通过研究英格兰在1875—1951年，矿山发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间T（以日计）服从指数分布，其概率密度为

求概率\(P\left\{ 50\lt T\lt100 \right\}\)。

解 \(P\{50\lt T\lt100\}=\int_{50}^{100} {\frac{1}{241}{e}^{-\frac{t}{241}}dt}\)。编写如下M文件sam3_9.m。

function sam3_9
syms x;
p=int(1/241*exp(-x/241),x,50,100)

保存该文件以后，在命令窗口中输入下面的语句：

>> sam3_9
p=
exp(-50/241)-exp(-100/241)

T落在50~100范围内的概率等于T位于100时的分布函数值减去T位于50时的分布函数值。编写如下M文件sam3_9_2.m。

function sam3_9_2
p1=1-exp(-50/241)
p2=1-exp(-100/241)
p=p2-p1

保存文件后，在命令窗口中输入下面的语句

>> sam3_9_2

生成结果

p1 =
    0.1874
p2 =
    0.3396
p =
    0.1523

正态分布

用normpdf函数可以进行正态分布计算。其语法格式为：

Y=normpdf(X, MU, SIGMA)

其中，MU和SIGMA为参数，X为指定的位置。

由某台机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布，工厂规定长度在范围10.05\(\pm\)0.12内的螺栓为合格品。下面求一个螺栓为不合格品的概率。

解 \(P\{9.93\lt x\lt10.17\}=\int_{9.93}^{10.17} {\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times0.06}{e}^{-\frac{(x-10.05{)}^{2}}{2\times0.0{6}^{2}}}dx}\)。编写如下M文件sam3_10.m。

function sam3_10
syms x;
fx=1/sqrt(6.28)/0.06*exp(-(x-10.05)^2/2/0.06/0.06);
p=1-int(fx,x,9.93,10.17)

保存该文件以后，在命令窗口中输入下面的语句：

>> sam3_10
p=
1 - (5*314^(1/2)*pi^(1/2)*erf(2^(1/2)))/157

p等于0.0453。所以某一个螺栓为不合格品的概率为0.0453。