下面介绍离散型随机变量、连续型随机变量和二维随机变量及其函数的数学期望的计算。[大谦MATLAB，dqmatlab点com]
离散型随机变量的数学期望
假设离散型随机变量X的分布律为
\(P\{X={x}_{k}\}={p}_{k}\) k=1, 2,…
如果级数\(\sum_{k=1}^{\infty} {{x}_{k}{p}_{k}}\)绝对收敛，则称该级数的和为随机变量X的数学期望。
根据客车到站情况，某旅客候车时间的分布律如表1-6所示。
表1-6 候车时间的分布律
| X | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| Pk | 1/2 | 1/3 | 1/36 | 1/12 | 1/18 |
下面求他候车时间的数学期望。
解 根据离散型随机变量的数学期望的定义，编写如下M文件sam3_11.m 。
code.matlab
function sam3_11
x=[10 30 50 70 90];
p=[1/2 1/3 1/36 1/12 1/18];
EX=sum(x.*p)在MATLAB命令窗口中输入下面的语句并按回车键。
code.matlab
>> sam3_11
EX=
27.2222所以他候车时间的数学期望为27.2222。
连续型随机变量的数学期望
假设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分
\[\int_{-\infty}^{\infty} {xf\left( x \right)} d x\]
绝对收敛，则称该积分的值为随机变量X的数学期望。
设X服从参数为a，b的均匀分布，求E(X)。
解 根据题意，X的概率密度函数为
\[f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{b-a}，a\lt x\lt b \\ 0， 其他 \end{matrix} \right.\]
根据连续型随机变量数学期望的定义，在a，b范围内X的数学期望为
\[E(X)=\int_{a}^{b} {\frac{x}{b-a}}dx\]
编写如下M文件sam3_12.m。
code.matlab
function sam3_12
syms x a b;
simplify(int(x/(b-a),x,a,b))在MATLAB命令窗口中输入下面的语句并按回车键
code.matlab
>> sam3_12
ans=
a/2 + b/2所以服从参数为a，b的均匀分布的数学期望为
\[E(X)=\frac{a+b}{2}\]
二维随机变量及其函数的数学期望
设随机变量(X,Y)的概率密度为。
\[f(x,y)=\left\{ \begin{matrix} \frac{3}{2{x}^{3}{y}^{2}}， \frac{1}{x}\lt y\lt x，x\gt1 \\ 0， 其他 \end{matrix} \right.\]
求数学期望\(E(Y)\)和\(E\left( \frac{1}{XY} \right)\)。
解 \(E(Y)\)和\(E\left( \frac{1}{XY} \right)\)的数学期望可用下面两个式子表示
\[E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty} {\int_{-\infty}^{\infty} {yf\left( x,y \right)}} d ydx=\int_{1}^{\infty} {\int_{\frac{1}{x}}^{\infty} {\frac{3}{2{x}^{3}y}}}dydx\]
\[E\left( \frac{1}{XY} \right)=\int_{-\infty}^{\infty} {\int_{-\infty}^{\infty} {\frac{1}{xy}f\left( x,y \right)}} d ydx=\int_{1}^{\infty} {\int_{\frac{1}{x}}^{\infty} {\frac{3}{2{x}^{4}{y}^{3}}}}dydx\]
下面编写M文件sam3_13.m求数学期望值。
code.matlab
function sam3_13
syms x y;
E1=int(int(3/(2*x.^3*y),y,1/x,x),x,1,+inf)
E2=int(int(3/(2*x.^4*y.^3),y,1/x,x),x,1,+inf)保存文件，在MATLAB命令窗口中输入下面的语句并按回车键。
code.matlab
>> sam3_13
E1=
3/4
E2=
3/5所以，\(E(Y)和E(\frac{1}{XY})\)的数学期望分别为3/4和3/5。