离散型随机变量及其分布律

离散型随机变量的分布

离散型随机变量的常见分布包括二项分布、泊松分布、离散均匀分布、几何分布和超几何分布等。

（1）二项分布

如果随机变量X可能取的值为0, 1, 2,…, n，其中n是一个正整数，0<p<1为一个常数，X的分布律为

\(P\{X=k\}={C}_{n}^{k}{p}^{k}(1-p{)}^{n-k}\)，k=0, 1,…, n

则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X~b(n,p)。

（2）泊松分布

如果随机变量X可能取的值为0, 1, 2,…，λ>0且是一个常数，X的分布律为

\(P\{X=k\}=\frac{{\lambda}^{k}}{k!}{e}^{-\lambda}\)，k=0, 1,…

则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~π(λ)。

（3）离散均匀分布

如果随机变量X可能取的值为1, 2,…，r，其中r是一个正整数，X的分布律为

\(P\{X=k\}=\frac{1}{r}\)， k=1, 2,…, r

则称X服从参数为r的离散均匀分布。

（4）几何分布

如果随机变量X可能取的值为1, 2,…，0<p<1且为一个常数，X的分布律为

\(P\{X=k\}=p(1-p{)}^{k-1}\)， k=1, 2, 3,…

则称X服从参数为p的几何分布，记为X~g(p)。

（5）超几何分布

假设产品总数为N，其中有M件次品，从中任意取n（n≤m）件，其中次品数X恰为k的分布律为

\(P\{X=k\}=p(1-p{)}^{k-1}\)， k=0, 1, 2,…, min(n, M)

则称X服从参数为(N, M, n)的超几何分布。

MATLAB分析离散型随机变量

MATLAB的统计工具箱中提供了分析各种离散型随机变量的函数，如表1-1所示。

表1-1 常见离散型随机变量的函数

下面结合例题进行详细介绍。

（1）二项分布

用binopdf函数可以进行二项分布计算。其语法格式为

Y=binopdf(X,N,P)

其中，N为试验次数，P为事件发生的概率，X为事件发生的次数。

按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品，己知某一批产品的一级品率为0.2 ，现在从中随机地抽查20只元件，问20只元件中恰有 k 只（k=0 , 1,…,20）为一级品的概率是多少？

解 据题意，假设X为20只元件中一级品的个数，则X是一个服从二项分布的随机变量，且有X~b(20, 0.2）。

编写M文件sam3_1. m如下，计算X取不同值时一级品的概率并绘图。

function sam3_1
x = 1:21;
k=1:21;
y(k)=binopdf(k-1,20,0.2)
plot(x,y,'+')
xlabel('k')
ylabel('Density')

保存该文件以后，在命令窗口中输入下面的语句

>> sam3_l
y =
  1 至 13 列
    0.0115    0.0576    0.1369    0.2054    0.2182    0.1746    0.1091    0.0545    0.0222    0.0074    0.0020    0.0005    0.0001
  14 至 21 列
    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000

y的值分别对应于20只元件中有0~20只是一级品的概率。生成的图形如图1-1所示。

图1-1 元件的概率分布图

(2）泊松分布。

用poisspdf函数可以进行泊松分布计算。其语法格式为

Y=poisspdf(X,LAMBDA)

其中，LAMBDA等于np，X为事件发生的次数。

一部电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布。下面求①某一分钟恰有8次呼唤的概率；②某一分钟的呼唤次数大于3的概率。

解 设X为某一分钟的呼唤次数，则X～π(4)。要求呼唤次数大于3的概率，只要有1减去次数为0~3的概率即可。编写M文件sam3_2.m如下。

function sam3_2
p8=poisspdf(8,4)
p0=poisspdf(0,4);
p1=poisspdf(1,4);
p2=poisspdf(2,4);
p3=poisspdf(3,4);
p=1-p0-p1-p2-p3

保存该文件以后，在命令窗口中输入下面的语句

>> sam3_2
p8=
0.0298
p=
0.5665

所以，某一分钟恰有8次呼唤的概率为0.0298，某一分钟的呼唤次数大于3的概率为0.5665。

（3）离散均匀分布。

用unidpdf函数可以进行离散均匀分布计算。其语法格式为

Y=unidpdf(X,N)

其中，N为试验次数，X表示当前第X次试验。

假设一颗均匀的骰子掷出的点数服从离散均匀分布，求点数的概率分布。下面根据题意，编写M文件sam3_3.m。

function sam3_3
k=1:6;
p(k)=unidpdf(k,6)

保存该文件以后，在命令窗口中输入下面的语句

>> sam3_3
p=
0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667

所以，取得各点的概率都是l/6。

（4）几何分布。

用geopdf函数可以进行几何分布计算。其语法格式为

Y=geopdf(X.P)

其中，P为事件一次发生的概率，X为事件发生所需要的次数。

设袋中有10个球，其中3个是红球，7个是白球。每次从中任取一个球，取后仍放回袋中。设X是取到红球为止所需的取球次数，求X的概率分布。

解 X～g（0.3），编写M文件sam3_4如下

function sam3_4
k = 1:10;
p(k)=geopdf(k-1,0.3)

保存该文件以后，在命令窗口中输入下面的语句

>> sam3_4
p =
  列 1 至 7
    0.3000    0.2100    0.1470    0.1029    0.0720    0.0504    0.0353
  列 8 至 10
    0.0247    0.0173    0.0121

p的值分别对应于取球次数为1~10的概率。

（5）超几何分布。

用hygepdf函数可以进行超几何分布计算。其语法格式为

Y=hygepdf(X,M,K,N)

其中，M为产品总个数，K为次品总个数，N为取出的产品个数，X为取出的产品中的次品数。

设袋中有10个球，其中3个是红球，7个是白球。从中取5个球，其中有1个球是红球的概率是多少？

解 设X为5个球中红球的个数，X服从参数为10，3，5的超几何分布。编写M文件sam3_5.m如下

function sam3_5
k=1:4;
p(k)=hygepdf(k-1,10,3,5)

保存该文件以后．在命令窗口中输入下面的语句

>> sam3_5
p =
0.0833  0.4167  0.4167  0.0833

p的值分别对应于5个球中有0~3个红球的概率。